Factoriza x⁴ − x² + 1/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Tomar $x^2$ como variable de trabajo. Solo aparecen potencias pares, y $x^4=\left(x^2\right)^2$, así que la expresión es una cuadrática en $u=x^2$:

   $u^2-u+\frac14$

2. 2

   Comprobar el patrón de cuadrado perfecto con la constante fraccionaria. $\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2$, y el término central debe ser igual a $-2ab$:

   $-2\cdot u\cdot\frac12=-u$

   lo cual coincide. Que la constante sea una fracción no es obstáculo: la identidad funciona sobre cualquier cuerpo.

3. 3

   Escribir el cuadrado y deshacer la sustitución.

   $u^2-u+\frac14=\left(u-\frac12\right)^2\quad\Longrightarrow\quad x^4-x^2+\frac14=\left(x^2-\frac12\right)^2$

4. 4

   Decidir si conviene ir más lejos. Sobre los reales se podría separar $x^2-\tfrac12$ como una diferencia de cuadrados:

   $\left(x-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\left(x+\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2$

   pero sobre los racionales $\left(x^2-\tfrac12\right)^2$ es hasta donde se puede llegar, ya que $\tfrac12$ no es un cuadrado racional.

5. 5

   Verificar numéricamente. En $x=2$: el original vale $16-4+0.25=12.25$, y $\left(4-0.5\right)^2=3.5^2=12.25$ $\checkmark$.