Factoriza 3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza primero la parte de grado 2. Cualquier factorización en dos factores lineales debe tener partes principales cuyo producto sea

   $3x^{2}-14xy+15y^{2}=(3x-5y)(x-3y)$

   (Comprobación: $3x\cdot(-3y)+(-5y)\cdot x=-9xy-5xy=-14xy$. ✓)

2. 2

   Escribe las constantes desconocidas. La factorización tiene que ser

   $(3x-5y+p)(x-3y+q)$

   para ciertas constantes $p,q$ con $pq=4$.

3. 3

   Ajusta el coeficiente de x. Al desarrollar, los términos en $x$ son $3qx+px$, así que $3q+p=13$.

4. 4

   Ajusta el coeficiente de y. Los términos en $y$ son $-5yq-3py$, así que $-5q-3p=-23$, es decir $5q+3p=23$.

5. 5

   Resuelve el sistema pequeño. De $p=13-3q$, al sustituir queda $5q+39-9q=23$, así que $-4q=-16$ y $q=4$, $p=1$. Ambos cumplen $pq=4$. Por lo tanto

   $\boxed{(3x-5y+1)(x-3y+4)}$

6. 6

   Desarrolla para confirmar. $(3x-5y+1)(x-3y+4)=3x^2-9xy+12x-5xy+15y^2-20y+x-3y+4=3x^2-14xy+15y^2+13x-23y+4$. ✓