Factoriza x³ − 5x² + 3x + 2 o demuestra que no se factoriza sobre los racionales, y halla sus raíces reales.

Step-by-step solution

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   Enumera las raíces racionales candidatas. Por el teorema de la raíz racional, una raíz racional $\tfrac{p}{q}$ en forma irreducible tiene $p$ divisor del término independiente $2$ y $q$ divisor del coeficiente principal $1$. Así que $q=\pm1$ y las únicas candidatas son

   $x=\pm1,\ \pm2$

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   Prueba todas las candidatas.

   $f(1)=1-5+3+2=1,\qquad f(-1)=-1-5-3+2=-7$

   $f(2)=8-20+6+2=-4,\qquad f(-2)=-8-20-6+2=-32$

   Ninguna es cero, así que no hay raíz racional y por tanto no hay ningún factor lineal con coeficientes racionales. Una cúbica factoriza sobre $\mathbb{Q}$ solo si tiene una raíz racional (toda factorización debe incluir una pieza lineal), de modo que esta cúbica es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

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   No confundas irreducible con sin raíces. Una cúbica real siempre tiene al menos una raíz real, porque recorre de forma continua desde $-\infty$ hasta $+\infty$. «No factoriza sobre los racionales» no dice nada sobre las raíces reales: solo dice que ninguna de ellas es una fracción.

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   Cuenta las raíces reales mediante los cambios de signo. Evalúa en unos cuantos puntos: $f(-1)=-7$, $f(0)=+2$, $f(1)=+1$, $f(2)=-4$, $f(5)=+17$. El signo cambia entre $-1$ y $0$, entre $1$ y $2$, y entre $2$ y $5$ — tres cambios de signo, así que las tres raíces son reales e irracionales.

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   Localízalas numéricamente. Bisecando sobre una malla fina en $[-10,10]$:

   $x_1\approx-0.3914,\qquad x_2\approx1.2271,\qquad x_3\approx4.1642$

   Así que la factorización real es $(x+0.3914)(x-1.2271)(x-4.1642)$ con cuatro decimales — perfectamente válida sobre $\mathbb{R}$, aunque no sobre $\mathbb{Q}$.

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   Comprueba con las fórmulas de Vieta. Las raíces deben sumar $-b/a=5$: $-0.3914+1.2271+4.1642=4.9999$ ✓, y su producto debe valer $-d/a=-2$: $(-0.3914)(1.2271)(4.1642)=-2.0000$ ✓. Ambas coinciden dentro de la precisión de la malla, lo que confirma que se han hallado tres raíces reales y que no se ha escapado ninguna.