Resolver la desigualdad 1 - (x + 6)/2 < (2x + 1)/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Hallar el mínimo común denominador. Los denominadores son $2$ y $3$, así que el m.c.m. es $6$. Como $6>0$, multiplicar ambos lados por él conserva el sentido de la desigualdad; este es el paso que elimina todas las fracciones de una vez en lugar de ir una por una.

2. 2

   Multiplicar cada término por 6 y simplificar los coeficientes.

   $6\cdot 1-6\cdot\frac{x+6}{2}<6\cdot\frac{2x+1}{3}\ \Longrightarrow\ 6-3(x+6)<2(2x+1)$

   Aquí $6/2=3$ y $6/3=2$, y el $1$ suelto pasa a ser $6$ — un término sin denominador también se multiplica.

3. 3

   Desarrollar ambos lados. El $-3$ multiplica a las dos partes de $(x+6)$:

   $6-3x-18<4x+2\ \Longrightarrow\ -3x-12<4x+2$

   Escribir $6-3x+18$ sería el desliz de signo clásico.

4. 4

   Pasar los términos en $x$ a la derecha para que el coeficiente quede positivo. Se suma $3x$ a ambos lados:

   $-12<7x+2$

   Y luego se resta $2$:

   $-14<7x$

5. 5

   Dividir entre 7 y enunciar el conjunto solución. Como $7>0$ el sentido no se invierte:

   $-2<x\ \Longrightarrow\ x>-2,\qquad\text{es decir }(-2,\infty)$

6. 6

   Comprobar el extremo y un punto interior. En $x=-2$: la izquierda $=1-2=-1$ y la derecha $=\tfrac{-3}{3}=-1$, así que los dos lados son iguales — el extremo queda excluido, exactamente como exige una desigualdad estricta. En $x=0$: la izquierda $=1-3=-2$, la derecha $=\tfrac13$, y $-2<\tfrac13$ ✓.