Simplificar 0.8x + (1 - x)(0.2).

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer la estructura antes de simplificar. Esto es un promedio ponderado: una fracción $x$ de algo aporta a razón de $0.8$, y la fracción restante $1-x$ aporta a razón de $0.2$. Expresiones con esta forma aparecen en problemas de mezclas, de probabilidad y de tasas combinadas, y saberlo indica que la forma simplificada tiene que ser lineal en $x$.

2. 2

   Distribuir el 0.2 sobre el paréntesis.

   $0.2\cdot1=0.2,\qquad 0.2\cdot(-x)=-0.2x$

   así que la expresión queda

   $0.8x+0.2-0.2x$

3. 3

   Agrupar los términos semejantes. Los dos términos en $x$ se combinan; la constante solitaria no:

   $(0.8x-0.2x)+0.2$

4. 4

   Combinar y enunciar el resultado.

   $0.8x-0.2x=0.6x\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x+0.2$

   La pendiente $0.6$ es exactamente la diferencia entre las dos tasas, $0.8-0.2$, y la ordenada al origen $0.2$ es el valor cuando $x=0$.

5. 5

   Comprobar la sensatez en los extremos. En $x=0$ la expresión debería dar la tasa baja pura: $0.6(0)+0.2=0.2$ ✓. En $x=1$ debería dar la tasa alta pura: $0.6(1)+0.2=0.8$ ✓. Los dos extremos caen exactamente donde predice la lectura de promedio ponderado.

6. 6

   Verificar con valores al azar. Comparar la forma original con la simplificada en $40$ valores de $x$ tomados al azar en $[-5,5]$ da coincidencia hasta la precisión de la máquina en todos los puntos ✓, lo que confirma que el resultado también vale fuera de $[0,1]$.