La función f(x) = |x − 4| se traslada 6 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Escribe la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

1. 1

   Anota la posición de partida. Al no haber constante fuera de las barras, $f(x)=|x-4|$ tiene vértice

   $(4,0)$

   justo sobre el eje $x$, con los dos brazos subiendo con pendientes $-1$ y $+1$.

2. 2

   Traslada 2 unidades a la derecha. Sustituye $x$ por $x-2$ dentro de la función:

   $\left|(x-2)-4\right|=|x-6|$

   Las dos restas se acumulan en un único desplazamiento de $6$, así que la esquina queda ahora en $x=6$.

3. 3

   Traslada 6 unidades hacia arriba. Suma $6$ a la salida:

   $|x-6|+6$

   Como la original no tenía constante vertical, este desplazamiento aporta él solo el $+6$.

4. 4

   Da la ecuación final y el vértice.

   $f(x)=|x-6|+6,\qquad \text{vértice }(6,6)$

5. 5

   Comprueba y observa una consecuencia. El punto original $(4,0)$ debería ir a parar a $(6,6)$, y $|6-6|+6=6\;\checkmark$; el original $(0,4)$ debería ir a $(2,10)$, y $|2-6|+6=4+6=10\;\checkmark$. Como el valor mínimo es ahora $6>0$, la gráfica trasladada no toca nunca el eje $x$, mientras que la original lo tocaba exactamente una vez: un cambio real de comportamiento producido solo por el desplazamiento vertical.