Si el conjunto solución de x² + px + q < 0 es (−1/2, 1/3), halla el conjunto solución de qx² + px + 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte el conjunto solución dado en raíces. El coeficiente principal de $x^{2}+px+q$ es $+1>0$, así que la parábola se abre hacia arriba y es negativa exactamente entre sus dos raíces. Por tanto, los extremos del intervalo dado son las raíces:

   $x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac13$

2. 2

   Reconstruye la cuadrática y lee p y q.

   $x^{2}+px+q=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^{2}+\left(\frac12-\frac13\right)x-\frac16=x^{2}+\frac16x-\frac16$

   Por tanto

   $p=\frac16,\qquad q=-\frac16$

   (Vieta da lo mismo: $x_1+x_2=-p$ y $x_1x_2=q$.)

3. 3

   Sustituye en la segunda inecuación.

   $-\frac16x^{2}+\frac16x+1>0$

4. 4

   Quita las fracciones y ajusta el signo. Multiplica por $6$ (positivo, así que el sentido no cambia):

   $-x^{2}+x+6>0$

   Ahora multiplica por $-1$, lo que sí invierte la desigualdad:

   $x^{2}-x-6<0$

5. 5

   Factoriza y resuelve.

   $(x-3)(x+2)<0$

   Una parábola hacia arriba es negativa entre sus raíces, así que

   $-2<x<3$

   $\boxed{(-2,\,3)}$

6. 6

   Comprueba los extremos y un punto interior. En $x=0$: $q(0)+p(0)+1=1>0$ ✓ (dentro). En $x=3$: $-\tfrac16(9)+\tfrac16(3)+1=-\tfrac32+\tfrac12+1=0$, así que $x=3$ queda excluido, como corresponde a un extremo abierto. En $x=4$: $-\tfrac{16}{6}+\tfrac46+1=-\tfrac{6}{6}=-1<0$ ✓ (fuera).