Resuelve (x² − 5x)·√(4 + 3x − x²) = 0 y da la suma de sus soluciones.

Step-by-step solution

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   Halla el dominio antes de resolver nada. El radicando debe ser no negativo: $4+3x-x^{2}\ge 0$, es decir $x^{2}-3x-4\le 0$, o sea $(x-4)(x+1)\le 0$, de donde $x\in[-1,4].$ Cualquier candidato fuera de este intervalo no es solución de la ecuación original, diga lo que diga el álgebra.

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   Aplica la regla del producto nulo. Un producto vale cero exactamente cuando uno de sus factores es cero, así que o bien $x^{2}-5x=0$, o bien $\sqrt{4+3x-x^{2}}=0$.

3. 3

   Resuelve el factor polinómico y filtra por el dominio. $x^{2}-5x=x(x-5)=0$ da $x=0$ o $x=5$. Como $5\notin[-1,4]$, solo sobrevive $x=0$; en $x=5$ el radicando valdría $4+15-25=-6<0$.

4. 4

   Resuelve el factor radical. Una raíz cuadrada vale cero exactamente cuando su radicando es cero: $4+3x-x^{2}=0$, es decir $x^{2}-3x-4=0$, o sea $(x-4)(x+1)=0$, lo que da $x=4$ y $x=-1$. Ambos son los extremos del dominio, así que ambos son admisibles.

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   Reúne y suma. El conjunto solución es $\{-1,0,4\}$ y la suma pedida vale $-1+0+4=3$. Al sustituir cada valor se obtiene $6\cdot\sqrt{0}$, $0\cdot 2$ y $-4\cdot 0$, todos nulos, así que los tres son genuinos.