Sea A una matriz de m por n. Demuestra que existe una matriz B de n por m tal que ABA = A.

Step-by-step solution

1. 1

   Redúcelo a una forma canónica. Sea $r=\operatorname{rank}(A)$. Toda matriz es equivalente a su forma normal de rango: existen $P$ ($m\times m$) y $Q$ ($n\times n$) invertibles con

   $PAQ=D:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{m\times n}$

   $P$ y $Q$ registran las operaciones por filas y por columnas que reducen $A$ hasta esta forma por bloques.

2. 2

   Resuelve primero el problema para $D$. Define la matriz de $n\times m$

   $D^{-}:=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\ 0&0\end{pmatrix}_{n\times m}$

   — el mismo patrón de bloques con las dimensiones intercambiadas, que es lo que hace que los productos sean conformables. La multiplicación por bloques da $DD^{-}=\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times m}$ y, por tanto,

   $DD^{-}D=D$

   ya que multiplicar $D$ por la izquierda por ese proyector idempotente deja intacto su único bloque no nulo.

3. 3

   Traslada la solución de vuelta a $A$. De $PAQ=D$ obtenemos $A=P^{-1}DQ^{-1}$. Define

   $B:=QD^{-}P$

   que es $(n\times n)(n\times m)(m\times m)=n\times m$, exactamente la forma requerida. Observa que $B=QD^{-}P$, y no $QDP$: la matriz por bloques con la forma transpuesta es esencial para que las dimensiones encajen.

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   Verifica $ABA=A$ por sustitución. Sustituyendo las dos expresiones y cancelando los pares inversos:

   $ABA=\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)\left(QD^{-}P\right)\left(P^{-1}DQ^{-1}\right)=P^{-1}D\,D^{-}D\,Q^{-1}=P^{-1}DQ^{-1}=A$

   usando $Q^{-1}Q=I_{n}$, $PP^{-1}=I_{m}$ y la identidad $DD^{-}D=D$ del paso 2. Con esto queda completa la demostración.

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   Fíjate en qué afirma y qué no afirma el enunciado. A $B$ se le llama inversa generalizada (o $\{1\}$-inversa) de $A$. En general no es única: cualquier $B$ de la forma $QD^{-}P$ construida a partir de otra elección de $P,Q$ sirve, y cuando $r<\min(m,n)$ los bloques libres dan infinitas. Coincide con $A^{-1}$ solo cuando $A$ es cuadrada e invertible ($r=m=n$).

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   Confirmación numérica. La pseudoinversa de Moore–Penrose es una de esas $B$ explícitas. Para matrices aleatorias de tamaños $4\times 3$ (rango 2), $3\times 5$ (rango 3) y $5\times 5$ (rango 1), calcular $A\,A^{+}A-A$ da entradas de tamaño $10^{-15}$ o menor — cero de máquina, tal como predice el teorema.