Resuelve la inecuación x² - 2x - 3 < 0.

Step-by-step solution

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   Factoriza antes de hacer cualquier otra cosa. Busca dos números cuyo producto sea $-3$ y cuya suma sea $-2$. Como el producto es negativo, los números tienen signos opuestos, y $-3$ y $+1$ funcionan:

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

   de modo que la inecuación queda $(x-3)(x+1)<0$.

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   Halla los puntos críticos.

   $x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Estos dividen la recta en $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ y $(3,\infty)$; el producto no puede cambiar de signo dentro de ninguno de ellos.

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   Prueba un valor en cada intervalo. En $x=-2$: $(-5)(-1)=5>0$. En $x=0$: $(-3)(1)=-3<0$. En $x=4$: $(1)(5)=5>0$. Así que el patrón es positivo, negativo, positivo — negativo solo en el del medio.

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   Confírmalo con la forma de la gráfica. El coeficiente principal es $+1$, así que la parábola se abre hacia arriba: baja por debajo del eje entre sus raíces y se mantiene por encima fuera de ellas. Eso coincide exactamente con la prueba de signos, y es la forma más rápida de ver la respuesta una vez conocidas las raíces.

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   Excluye los extremos. La desigualdad es estricta, así que las propias raíces — donde la expresión vale exactamente $0$ — no se incluyen:

   $-1<x<3,\qquad(-1,3)$

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   Verifica con un barrido. Evaluar $x^2-2x-3$ con fracciones exactas en $4001$ puntos de $[-10,10]$ y comparar el signo con $(-1,3)$ da coincidencia en todos los puntos ✓. Como comprobación adicional, el vértice está en $x=1$ (el punto medio de las raíces) con valor $1-2-3=-4$, lo más negativo que llega a ser la expresión.