Resuelve la desigualdad compuesta −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   No multipliques toda la cadena por $x+1$. Su signo es desconocido, así que multiplicar obligaría a separar en casos y arriesga invertir la desigualdad. En su lugar, divide la cadena en dos desigualdades independientes y anota de entrada la restricción del dominio $x\ne-1$.

2. 2

   Resuelve la mitad izquierda pasando todo a un solo lado.

   $\frac{2x-3}{x+1}+2>0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3+2(x+1)}{x+1}>0\;\Longrightarrow\;\frac{4x-1}{x+1}>0$

   Puntos críticos $x=\tfrac14$ y $x=-1$. Al probar $x=-2$ se obtiene $\tfrac{-9}{-1}>0$; con $x=0$ queda $-1<0$; con $x=1$ queda $\tfrac32>0$, así que la mitad izquierda se cumple en $(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)$.

3. 3

   Resuelve la mitad derecha del mismo modo.

   $\frac{2x-3}{x+1}-1\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3-(x+1)}{x+1}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{x-4}{x+1}\le0$

   Puntos críticos $x=4$ (admisible, porque se permite la igualdad) y $x=-1$ (nunca admisible). Al probar $x=-2$ se obtiene $6>0$; con $x=0$ queda $-4<0$; con $x=5$ queda $\tfrac16>0$, así que esta mitad se cumple en $(-1,4]$.

4. 4

   Interseca los dos conjuntos solución. Un número debe satisfacer las dos mitades a la vez:

   $\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)\right]\cap(-1,4]=\left(\tfrac14,\,4\right]$

   La rama $(-\infty,-1)$ desaparece porque la mitad derecha excluye todo lo que está por debajo de $-1$.

5. 5

   Comprueba los extremos numéricamente. En $x=0.26$ el cociente vale $-1.968$, que cumple $-2<\cdot\le1$; en $x=0.2$ vale $-2.167$, que falla por la izquierda. En $x=4$ el cociente vale exactamente $1$ (incluido); en $x=4.1$ vale $1.0196$, que falla por la derecha. Los extremos se comportan justo como se afirmó.

6. 6

   Escribe el intervalo final.

   $x\in\left(\frac14,\,4\right]$