Halla el número racional k que cumple −√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Reducir cada radical a un múltiplo de √3. Cada radicando es $3$ por un cuadrado perfecto, así que los cuatro términos son conmensurables, que es justamente lo que permite escribir la suma como $k\sqrt3$:

   $\sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{108}=6\sqrt3$

2. 2

   Sustituir en la expresión.

   $-\frac{2\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{9}+\frac{5\sqrt3}{15}+6\sqrt3$

3. 3

   Simplificar cada coeficiente.

   $-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}+6\sqrt3$

   Los dos términos centrales son exactamente opuestos y se cancelan: es un rasgo diseñado a propósito en el enunciado y un recordatorio útil de simplificar antes de buscar un común denominador.

4. 4

   Reunir los términos que sobreviven.

   $(-1+6)\sqrt3=5\sqrt3$

5. 5

   Leer el valor de k.

   $\boxed{k=5}$

6. 6

   Verificar numéricamente. Con $\sqrt3\approx 1.7320508$: $-\tfrac{3.4641}{2}=-1.7321$, $-\tfrac{5.1962}{9}=-0.5774$, $+\tfrac{8.6603}{15}=+0.5774$, $+10.3923$. La suma es $8.6603=5\sqrt3$ ✓.