Resuelva la ecuación 2x = 2^x.

Step-by-step solution

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   Pruebe primero con valores pequeños. La ecuación mezcla un término lineal con uno exponencial, así que ningún reordenamiento algebraico va a despejar $x$. Sustituyendo enteros:

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{y}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{y}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   Las dos son soluciones exactas ✓. La pregunta es entonces si existe alguna más.

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   Replantee el problema como una sola función. Sea

   $f(x)=2^{x}-2x$

   Las soluciones de la ecuación original son exactamente los ceros de $f$. Ya sabemos que $f(1)=0$ y $f(2)=0$.

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   Use la convexidad para acotar el número de raíces. La función $2^{x}$ es convexa (su segunda derivada $(\ln2)^{2}2^{x}$ es positiva en todas partes), mientras que $2x$ es una recta. Una recta puede cortar a una curva estrictamente convexa a lo sumo dos veces. Como ya tenemos dos cortes, no puede haber más.

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   Confirme la forma con un muestreo. $f(0)=1-0=1>0$, $f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$ y $f(3)=8-6=2>0$ ✓. El patrón positivo, negativo, positivo muestra que $f$ baja por debajo de cero exactamente entre $x=1$ y $x=2$ y se mantiene positiva fuera: exactamente dos cambios de signo y, por lo tanto, exactamente dos raíces.

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   Escriba la solución completa.

   $x=1\qquad\text{o}\qquad x=2$

   Fíjese en lo especial que resulta esto: $x=1$ resuelve $b^{x}=bx$ para cualquier base $b$, porque ambos lados valen $b$. Lo que distingue a la base $2$ es el segundo cruce: de $b^{2}=2b$ se sigue $b=2$, así que ninguna otra base tiene pareja entera. Con $b=3$, por ejemplo, la segunda raíz es irracional: $x\approx 0.826018$.