Divide 2x³ + x² − 4x − 2 entre 2x + 1.

Step-by-step solution

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   Plantea la división larga. Ambos polinomios están escritos en potencias descendentes y no falta ningún término, así que no hacen falta ceros de relleno. Divide término principal entre término principal:

   $\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2}.$

   Observa que la división sintética resulta incómoda aquí porque el divisor no es mónico; la división larga corriente maneja el $2$ del término principal sin ningún reescalado.

2. 2

   Multiplica hacia atrás y resta. Al multiplicar el divisor por el primer término del cociente:

   $x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},$

   y al restar no queda nada de los dos primeros términos:

   $\left(2x^{3}+x^{2}\right)-\left(2x^{3}+x^{2}\right)=0.$

   Bajar el resto de los términos da el nuevo dividendo $-4x-2$.

3. 3

   Repite sobre lo que queda. Al dividir de nuevo los términos principales:

   $\frac{-4x}{2x}=-2,\qquad -2(2x+1)=-4x-2,$

   y al restar se obtiene $0$. La división termina con resto cero, así que $2x+1$ es un factor genuino.

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   Confirma por agrupación. El mismo resultado sale sin dividir en absoluto:

   $2x^{3}+x^{2}-4x-2=x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right).$

   Notar que los dos primeros términos y los dos últimos contienen cada uno $2x+1$ es más rápido que la división larga siempre que una cúbica tenga esta estructura por parejas.

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   Enuncia la respuesta y comprueba. El cociente es

   $\frac{2x^{3}+x^{2}-4x-2}{2x+1}=x^{2}-2,\qquad x\neq-\tfrac12.$

   Como extra, la factorización completa es $(2x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$, así que las raíces son $-\tfrac12$ y $\pm\sqrt2$. Comprobación numérica en $x=2.3$: el cociente da $3.29$ y el cociente original da $3.29$ ✓.