Factoriza por completo x⁴ + x² - 2ax + 1 - a².

Step-by-step solution

1. 1

   Busca un cuadrado que completar, guiándote por los términos extremos. El $x^4$ y el $+1$ sugieren el cuadrado $\left(x^2+1\right)^2=x^4+2x^2+1$. Compáralo con lo que tenemos: la expresión dada solo tiene $x^2$, así que le falta $x^2$, y además arrastra el sobrante $-2ax-a^2$.

2. 2

   Haz la cuenta de forma explícita.

   $x^4+x^2-2ax+1-a^2=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2-2ax-a^2=\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+2ax+a^2\right)$

   y el paréntesis de la derecha es a su vez un cuadrado perfecto, $(x+a)^2$. Así que todo queda como

   $\left(x^2+1\right)^2-(x+a)^2$

   Este es el paso clave, y muestra que la afirmación de que la expresión «no se factoriza bien para un $a$ arbitrario» es falsa.

3. 3

   Aplica la diferencia de cuadrados. Con $A=x^2+1$ y $B=x+a$:

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\left(x^2+1-x-a\right)\left(x^2+1+x+a\right)$

4. 4

   Ordena cada paréntesis.

   $\left(x^2-x+1-a\right)\left(x^2+x+1+a\right)$

   Ambos factores son cuadráticas en $x$ con el parámetro alojado únicamente en el término constante.

5. 5

   Verifica desarrollando. Al multiplicar, los términos en $x^3$ se cancelan ($-x^3+x^3$), los términos en $x^2$ dan $x^2+x^2-x^2=x^2$ una vez sumados los productos cruzados, los términos en $x$ se reducen a $-2ax$ y las constantes dan $(1-a)(1+a)=1-a^2$ — reproduciendo la expresión original exactamente. Una comprobación numérica al azar ($x=1.5$, $a=0.7$) da el mismo valor en ambos lados.

6. 6

   Revisa el caso particular $a=0$. La factorización se convierte en

   $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^4+x^2+1$

   que es la conocida identidad — y, en efecto, hacer $a=0$ en la expresión original también da $x^4+x^2+1$ ✓.