Desarrolla y simplifica (10x³ + 3x + 8)(4x³ − 8x − 9).

Step-by-step solution

1. 1

   Planifica el desarrollo. Cada factor tiene tres términos, así que la propiedad distributiva produce $3\times 3=9$ productos. Observa que ninguno de los dos factores tiene término en $x^{2}$ — ese grado ausente es exactamente donde se cuelan los errores de signo y de contabilidad, así que lleva la cuenta de los grados de forma explícita.

2. 2

   Distribuye el término principal $10x^{3}$.

   $10x^{3}\left(4x^{3}-8x-9\right)=40x^{6}-80x^{4}-90x^{3}$

3. 3

   Distribuye el término central $3x$.

   $3x\left(4x^{3}-8x-9\right)=12x^{4}-24x^{2}-27x$

4. 4

   Distribuye el término constante $8$.

   $8\left(4x^{3}-8x-9\right)=32x^{3}-64x-72$

5. 5

   Agrupa los nueve términos por grado. Alinéalos grado a grado:

   $\begin{aligned}x^{6}&:\ 40x^{6}\\ x^{5}&:\ \text{ninguno}\\ x^{4}&:\ -80x^{4}+12x^{4}=-68x^{4}\\ x^{3}&:\ -90x^{3}+32x^{3}=-58x^{3}\\ x^{2}&:\ -24x^{2}\\ x&:\ -27x-64x=-91x\\ \text{const.}&:\ -72\end{aligned}$

6. 6

   Escribe el resultado y comprueba los extremos. El desarrollo es

   $40x^{6}-68x^{4}-58x^{3}-24x^{2}-91x-72$

   Dos comprobaciones rápidas: el coeficiente principal tiene que ser $10\times 4=40$ ✓ y el término constante tiene que ser $8\times(-9)=-72$ ✓. Una tercera comprobación es evaluar las dos formas en $x=1$: los factores dan $(10+3+8)(4-8-9)=21\times(-13)=-273$, y el desarrollo da $40-68-58-24-91-72=-273$ ✓