La desigualdad m − x² ≤ 1 − x tiene al menos una solución positiva. ¿Qué valores puede tomar m?

Step-by-step solution

1. 1

   Despeja el parámetro en lugar de la variable. Como la pregunta trata sobre $m$, resuelve la desigualdad para $m$:

   $m-x^{2}\le 1-x\ \Longleftrightarrow\ m\le x^{2}-x+1$

   Ahora la condición dice: existe $x>0$ con $m\le f(x)$, donde $f(x)=x^{2}-x+1$.

2. 2

   Traduce «existe» a una cota sobre el recorrido. Un valor $m$ sirve si y solo si $m$ es menor o igual que algún valor de $f$ sobre $x>0$ — es decir, si y solo si

   $m\le \sup_{x>0}f(x)$

   Este es el paso que decide todo el problema, y es donde «tiene solución» (existencial) no se debe confundir con «se cumple para todo $x>0$» (universal). La versión universal exigiría en cambio $m\le\min_{x>0}f(x)$.

3. 3

   Analiza $f$ sobre el semieje positivo. Completando el cuadrado,

   $f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac34$

   de modo que $f$ tiene mínimo $\tfrac34$ en $x=\tfrac12$ (que está en $x>0$), y $f(x)\to+\infty$ cuando $x\to+\infty$. Su recorrido sobre $x>0$ es por tanto $\left[\tfrac34,+\infty\right)$ — no acotado superiormente.

4. 4

   Aplica el criterio. Como $\sup_{x>0}f(x)=+\infty$, la condición $m\le f(x)$ siempre se puede cumplir: sea cual sea $m$, elige $x$ lo bastante grande para que $x^{2}-x+1\ge m$.

   $m\in\mathbb{R}$

5. 5

   Exhibe un testigo para hacerlo concreto. Dado cualquier $m$, toma $x=\max(1,m)$. Entonces $f(x)=x^{2}-x+1=x(x-1)+1\ge 1$ y $f(x)\ge x\ge m$ siempre que $x\ge 1$, así que ese $x$ es una solución positiva. Por ejemplo, $m=100$ se satisface con $x=100$, ya que $100^{2}-100+1=9901\ge 100$.

6. 6

   Contrasta con la versión «para todo». Si el problema hubiera dicho que la desigualdad se cumple para todo $x>0$, la respuesta habría sido $m\le\tfrac34$ en su lugar — el mínimo, no el supremo. Leer bien el cuantificador es toda la dificultad de esta pregunta.