Resuelve la inecuación |x − 1| / (x² − 4) ≥ 0.

Step-by-step solution

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   Empieza por el dominio. El denominador no puede ser cero:

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   Estos dos puntos no podrán aparecer nunca en la respuesta, diga lo que diga el resto del análisis.

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   Aprovecha que el numerador tiene signo fijo. Para todo $x$ real se cumple $|x-1|\ge 0$, y solo vale $0$ en $x=1$. Por eso el numerador no puede hacer negativa la fracción: el signo del cociente lo decide por completo el denominador, salvo en el único punto donde el numerador se anula.

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   Caso A: la fracción es estrictamente positiva. Esto exige $|x-1|>0$ (es decir, $x\neq 1$) junto con $x^2-4>0$. Al factorizar, $(x-2)(x+2)>0$ se cumple cuando ambos factores son negativos o ambos positivos:

   $x<-2\quad\text{o}\quad x>2$

   Como $x=1$ no está en ninguna de esas regiones, todo $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ sirve.

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   Caso B: la fracción vale exactamente cero. Un cociente es cero cuando su numerador es cero y su denominador no lo es:

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   Como la desigualdad es $\ge 0$ y no $>0$, este punto suelto sí es solución, aunque quede dentro del intervalo $(-2,2)$, donde por lo demás la fracción es negativa.

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   Descarta el resto de $(-2,2)$. Ahí $x^2-4<0$ mientras que $|x-1|>0$, así que la fracción es estrictamente negativa: por ejemplo, en $x=0$ vale $\tfrac{1}{-4}=-0.25$. Todos los puntos de $(-2,2)$ salvo $x=1$ fallan.

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   Reúne los casos.

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   La llave suelta en torno a $1$ no es una errata: un punto aislado en un conjunto solución es justamente lo que produce un "$\ge$" cuando un numerador no negativo se anula dentro de una región negativa.