Dadas f(x) = 4x − 7, g(x) = 8x² − 2x − 3 y h(x) = 4x³ + 9x − 2, halla (g∘f)(x), (h∘f)(2) y (f∘h)(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Fija el convenio. $(g \circ f)(x)$ significa $g(f(x))$: actúa primero la función de la derecha. Invertir el orden da en general un resultado distinto; aquí $(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19$, que no se parece en nada al apartado (a).

2. 2

   Apartado (a): sustituye f dentro de g. Reemplaza cada $x$ de $g$ por $4x-7$:

   $g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3$

   Con $(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49$:

   $= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403$

3. 3

   Apartado (b): evalúa primero lo de dentro. En una composición numérica no hace falta construir la fórmula general:

   $f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11$

   así que $(h \circ f)(2) = 11$. Componer primero de forma simbólica obligaría a desarrollar $(4x-7)^3$ sin ninguna ganancia.

4. 4

   Apartado (c): sustituye h dentro de f. Como $f$ es lineal, esta composición es sencilla: basta escalar y desplazar:

   $f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15$

5. 5

   Comprueba las respuestas numéricamente. En $x = 1.7$: $f(1.7) = -0.2$ y $g(-0.2) = 0.32 + 0.4 - 3 = -2.28$, mientras que la fórmula da $128(2.89) - 456(1.7) + 403 = -2.28$. Para el apartado (c) en $x = -2.3$: $h(-2.3) = -71.368$ y $f(-71.368) = -292.472$, mientras que $16(-12.167) + 36(-2.3) - 15 = -292.472$. Las dos coinciden.

6. 6

   Fíjate en el patrón de los grados. Componer un polinomio de grado $m$ con uno de grado $n$ da grado $mn$: $g \circ f$ es $2 \times 1 = 2$, y $f \circ h$ es $1 \times 3 = 3$, lo que concuerda con los resultados de arriba.