Factoriza a⁴ + 4b⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el obstáculo. Esto es una suma, y una suma de dos cuadrados —$\left(a^{2}\right)^{2}+\left(2b^{2}\right)^{2}$— normalmente no se factoriza sobre los reales. El truco consiste en fabricar una diferencia de cuadrados sumando un término y quitándolo de inmediato, lo que no cambia nada pero revela la estructura.

2. 2

   Suma y resta $4a^{2}b^{2}$. La elección no es arbitraria: $4a^{2}b^{2}$ es exactamente el doble del producto de $a^{2}$ y $2b^{2}$, que es el término cruzado que necesita un cuadrado perfecto:

   $a^{4}+4b^{4}=\underbrace{a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}}_{\text{cuadrado perfecto}}-4a^{2}b^{2}$

3. 3

   Colapsa los tres primeros términos.

   $a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}$

   así que la expresión se ha convertido en una diferencia de cuadrados genuina:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}$

4. 4

   Aplica $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ con $A=a^{2}+2b^{2}$ y $B=2ab$:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)$

   Reordenando cada paréntesis en potencias decrecientes de $a$ se obtiene el enunciado estándar de la identidad de Sophie Germain:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)$

5. 5

   Verifica y observa la irreducibilidad de los factores. Desarrollar el producto en los $225$ pares de enteros con $-7\le a,b\le7$ reproduce exactamente $a^{4}+4b^{4}$ ✓. Comprobación puntual con $a=1,b=1$: $1+4=5$ y $(1-2+2)(1+2+2)=1\cdot5=5$ ✓. Cada factor cuadrático tiene discriminante $4b^{2}-8b^{2}=-4b^{2}<0$ visto como cuadrática en $a$, así que ninguno se factoriza más sobre los reales: esta es la factorización completa.

6. 6

   Mira por qué es útil. Con $b=1$ la identidad da $a^{4}+4=\left(a^{2}-2a+2\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$, lo que demuestra que $a^{4}+4$ es compuesto para todo entero $a>1$: la aplicación clásica de la identidad en teoría de números.