Grafica el sistema de inecuaciones x + y ≤ 6 y x ≥ 2, y describe la región solución.

Step-by-step solution

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   Reescribe la primera inecuación con $y$ despejada. Restando $x$,

   $y\le 6-x.$

   Ponerla en la forma «$y\le$» te dice de inmediato qué lado de la recta frontera hay que sombrear: el de abajo, no el de arriba.

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   Traza las dos rectas frontera. La frontera de la primera es $y=6-x$, una recta de pendiente $-1$ que pasa por $(0,6)$ y $(6,0)$. La frontera de la segunda es la recta vertical $x=2$. Las dos inecuaciones no son estrictas ($\le$, $\ge$), así que ambas rectas se dibujan continuas y pertenecen a la solución.

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   Sombrea cada región y toma la parte común. Para $y\le 6-x$, sombrea todo lo que esté sobre la recta inclinada o por debajo de ella; para $x\ge 2$, sombrea todo lo que esté sobre la recta $x=2$ o a su derecha. El conjunto solución es la intersección de los dos semiplanos sombreados.

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   Localiza el vértice. Las dos fronteras se cortan donde $x=2$ y $y=6-2=4$, así que el vértice de la región es $(2,4)$. Desde ahí la región se abre hacia abajo y hacia la derecha: es no acotada, ya que nada impide que $x$ o $-y$ crezcan.

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   Escribe la región y prueba con puntos. La solución es

   $\{(x,y)\;:\;x\ge 2\ \text{y}\ y\le 6-x\}.$

   Prueba $(3,1)$: $3\ge2$ ✓ y $3+1=4\le6$ ✓, así que está en la región. Prueba $(1,1)$: falla $1\ge2$, así que queda fuera. Prueba $(4,3)$: $4\ge2$ ✓ pero $4+3=7>6$, así que queda fuera. El propio vértice $(2,4)$ cumple ambas con igualdad y está incluido.