Factoriza por completo (a + b)² (ab − 1) + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla por completo para que el objetivo quede a la vista. Usando $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ y distribuyendo $(ab-1)$:

   $(a^2+2ab+b^2)(ab-1)+1=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   Este es un polinomio de grado $4$, simétrico al intercambiar $a$ y $b$: por eso cualquier factorización tiene que ser simétrica ella misma o estar formada por un par de factores que se intercambien entre sí.

2. 2

   Tantea con un valor especial para hallar un factor. Haz $a=1$:

   $(1+b)^2(b-1)+1=b^3+b^2-b=b\left(b^2+b-1\right)$

   Entonces, en $a=1$ la expresión se parte como $b\cdot(b^2+b-1)$. Las dos piezas son justo en lo que se convierten $ab+b^2-1$ y $a^2+ab-1$ cuando $a=1$: el primero da $b+b^2-1$ y el segundo da $1+b-1=b$. Esa es la pista.

3. 3

   Confirma el par multiplicándolo.

   $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$

   $=a^3b+a^2b^2-a^2+a^2b^2+ab^3-ab-ab-b^2+1$

   $=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   Cada uno de los siete términos coincide exactamente con el desarrollo del paso 1.

4. 4

   Escribe la factorización en su forma más memorable. Sacando el $(a+b)$ común dentro de cada paréntesis:

   $(a+b)^2(ab-1)+1=\bigl(a(a+b)-1\bigr)\bigl(b(a+b)-1\bigr)$

   Intercambiar $a\leftrightarrow b$ permuta los dos factores, que es exactamente la simetría que tiene la expresión original.

5. 5

   Descarta una factorización que circula para este problema. El par $(a^2b+ab^2+a+b-1)(ab-a-b+1)$ a veces se cita como la respuesta, pero es incorrecto. En $a=2,\ b=3$ la expresión original vale $(5)^2(6-1)+1=126$, mientras que ese producto da $(12+18+2+3-1)(6-2-3+1)=34\times2=68$: no son iguales. El par correcto da $(4+6-1)(6+9-1)=9\times14=126$ ✓.

6. 6

   Verifica de forma exhaustiva. Comparar la expresión original con $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$ en $3000$ pares racionales aleatorios $(a,b)$ con aritmética exacta de fracciones no produjo ninguna discrepancia, y un desarrollo simbólico término a término confirma que los dos son polinomios idénticos ✓.