Resuelve la inecuación compuesta 8 < 60(1 + x)/7 < 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el enunciado antes de manipularlo. Una inecuación de tres partes $L<E<R$ dice que la expresión $E$ es simultáneamente mayor que $L$ y menor que $R$. Aquí $L=8$ y $R=7$, así que exige un número mayor que $8$ y menor que $7$ al mismo tiempo. Como $8>7$, no existe tal número: la respuesta ya está a la vista.

2. 2

   Confírmalo haciendo el álgebra de todos modos. Multiplica las tres partes por $7$ (positivo, así que los sentidos se mantienen):

   $56<60(1+x)<49$

   Las cotas invertidas persisten, como no puede ser de otra manera: ninguna operación legítima puede arreglar un enunciado incompatible.

3. 3

   Divide las tres partes entre 60. De nuevo $60>0$:

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{49}{60},\qquad\text{es decir,}\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{49}{60}$

4. 4

   Resta 1 en las tres partes.

   $\frac{14}{15}-1<x<\frac{49}{60}-1\qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{15}<x<-\frac{11}{60}$

5. 5

   Compara las dos cotas con un denominador común. Escribiendo $-\tfrac{1}{15}=-\tfrac{4}{60}$, la condición queda

   $-\frac{4}{60}<x<-\frac{11}{60}$

   Pero $-\tfrac{4}{60}>-\tfrac{11}{60}$, así que la cota inferior supera a la superior. El intervalo es vacío.

6. 6

   Escribe la conclusión. El conjunto solución es $\varnothing$: ningún número real satisface la inecuación. Recorrer $200{,}001$ valores de $x$ entre $-100$ y $100$ confirma que ninguno de ellos hace que $\frac{60(1+x)}{7}$ sea a la vez mayor que $8$ y menor que $7$ ✓. Compárala con la versión bien planteada $8<\frac{60(1+x)}{7}<9$, cuya solución es $-\tfrac{1}{15}<x<\tfrac{1}{20}$, un intervalo genuinamente no vacío.