Resolver la desigualdad 2x² − 3x − 2 > 0.

Step-by-step solution

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   Confirmar que la desigualdad ya está en forma estándar. Todo está en el miembro izquierdo con $0$ a la derecha, así que se puede pasar directamente a factorizar. El coeficiente principal es $2$, lo que significa que la factorización no es mónica y la separación debe tenerlo en cuenta.

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   Factorizar la cuadrática no mónica. Se buscan enteros cuyo producto sea $ac = 2\cdot(-2) = -4$ y cuya suma sea $b=-3$: son $-4$ y $1$. Separando el término central, $2x^2-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2)$, de modo que $2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2).$ Desarrollando de vuelta se obtiene $2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$, lo que cuadra.

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   Hallar los puntos críticos. Se iguala cada factor a cero: $2x+1=0$ da $x=-\tfrac12$, y $x-2=0$ da $x=2$. Estos son los únicos lugares donde la expresión puede cambiar de signo.

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   Probar el signo en cada intervalo. Los puntos parten la recta en $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,2\right)$ y $(2,\infty)$. En $x=-1$: $(2(-1)+1)((-1)-2) = (-1)(-3) = 3>0$. En $x=0$: $(1)(-2) = -2<0$. En $x=3$: $(7)(1) = 7>0$. El patrón $+,-,+$ es exactamente lo que debe hacer una parábola que abre hacia arriba.

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   Conservar los intervalos donde el producto es positivo. Como la desigualdad es estricta, las propias raíces quedan excluidas: $x<-\tfrac12 \quad \text{o} \quad x>2, \qquad \text{es decir, } \left(-\infty,-\tfrac12\right)\cup(2,\infty).$

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   Recordar el atajo. Para $a>0$ y dos raíces reales distintas $r_1<r_2$, la solución de $ax^2+bx+c>0$ está siempre fuera de las raíces, y la de $<0$ siempre entre ellas - la tabla de signos de arriba solo lo confirma.