Usa la división sintética para dividir x³ − x² − 4 entre x − 2. Ten en cuenta que falta el término en x.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta el hueco del polinomio. Escrito con todas las potencias presentes, el dividendo es

   $x^3-x^2+0\cdot x-4$

   así que la fila de coeficientes debe ser $1,\;-1,\;0,\;-4$: cuatro entradas para un polinomio cúbico. Saltarse el $0$ y escribir solo $1,-1,-4$ desplaza todas las columnas siguientes, y es la forma clásica de estropear este ejercicio.

2. 2

   Toma $c=2$ del divisor. Como $x-2=x-(2)$, el valor de la esquina es $c=2$. El teorema del resto predice cuál debe ser la última columna:

   $f(2)=8-4-4=0$

   así que se espera una división exacta.

3. 3

   Multiplica y suma a lo largo de la fila ya rellenada.

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -1 & 0 & -4\\ & & 2 & 2 & 4\\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0\end{array}$

   En detalle: $1\cdot 2=2$ con $-1+2=1$; $1\cdot 2=2$ con $0+2=2$ (esta es la columna que el relleno hizo posible); $2\cdot 2=4$ con $-4+4=0$.

4. 4

   Lee el resultado. La fila inferior da un cociente cuadrático y un resto nulo:

   $\text{cociente}=x^2+x+2,\qquad \text{resto}=0$

   así que $x-2$ es factor y $x=2$ es raíz del polinomio cúbico.

5. 5

   Comprueba la factorización y las raíces restantes. Desarrollando hacia atrás,

   $(x-2)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-2x^2-2x-4=x^3-x^2-4\;\checkmark$

   El cociente $x^2+x+2$ tiene discriminante $1-8=-7<0$, así que no factoriza sobre los reales. Eso significa que $x=2$ es la única raíz real, y las otras dos son el par complejo $x=\tfrac{-1\pm i\sqrt7}{2}$.