Resolver |2a + 7| + |2a - 1| = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Localiza los puntos de quiebre. Cada valor absoluto cambia de fórmula donde se anula su interior:

   $2a+7=0\Rightarrow a=-\frac72,\qquad 2a-1=0\Rightarrow a=\frac12$

   Estos puntos parten la recta en $a<-\tfrac72$, $-\tfrac72\le a<\tfrac12$ y $a\ge\tfrac12$.

2. 2

   Predice la forma de la respuesta antes de resolver. Observa que $|2a+7|+|2a-1|=2\left(\left|a+\tfrac72\right|+\left|a-\tfrac12\right|\right)$, es decir, el doble de la distancia total de $a$ a $-\tfrac72$ y a $\tfrac12$. La distancia entre esos dos puntos es $4$, así que el valor mínimo posible del primer miembro es $2\times4=8$, exactamente el segundo miembro. Eso significa que la ecuación pide el mínimo, que se alcanza en todo un segmento y no en puntos aislados.

3. 3

   Caso 1: a < -7/2 (los dos interiores negativos). Entonces

   $(-2a-7)+(-2a+1)=-4a-6=8\Rightarrow-4a=14\Rightarrow a=-\frac72$

   Esto contradice la condición estricta $a<-\tfrac72$, así que este caso no aporta nada nuevo (el valor $-\tfrac72$ se recoge en el caso 2).

4. 4

   Caso 2: -7/2 <= a < 1/2 (signos mixtos). Aquí $|2a+7|=2a+7$ y $|2a-1|=-2a+1$, de modo que los términos en $a$ se cancelan:

   $(2a+7)+(-2a+1)=8$

   Esto se reduce a la identidad $8=8$, cierta para todo $a$ del intervalo. Así que el intervalo completo $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ forma parte del conjunto solución.

5. 5

   Caso 3: a >= 1/2 (los dos interiores no negativos).

   $(2a+7)+(2a-1)=4a+6=8\Rightarrow a=\frac12$

   Esto cumple $a\ge\tfrac12$, así que $a=\tfrac12$ se incluye.

6. 6

   Une los casos y enuncia la respuesta. El caso 2 da $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ y el caso 3 añade el extremo $\tfrac12$:

   $-\frac72\le a\le\frac12$

   Fuera de este intervalo cerrado el primer miembro supera a $8$, así que no hay nada más que cumpla la igualdad.

7. 7

   Verifica con un barrido. Al evaluar el primer miembro en $12001$ puntos desde $-6$ hasta $6$: vale $8$ exactamente en los puntos de $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right]$ y es estrictamente mayor en todos los demás ✓.