Resuelve el sistema 1/x + 1/y = 8 y 6/x + 12/y = 1.

Step-by-step solution

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   Haz un cambio de variable para quitar los denominadores. Las incógnitas solo aparecen como $1/x$ y $1/y$, así que tomar $a=\frac1x,\qquad b=\frac1y$ convierte el sistema en el lineal $a+b=8,\qquad 6a+12b=1.$ Quitar los denominadores multiplicando produciría en cambio un sistema cuadrático engorroso: el cambio de variable es mucho más limpio.

2. 2

   Simplifica la segunda ecuación. Dividir $6a+12b=1$ entre $6$ da $a+2b=\frac16.$ Ahora las dos ecuaciones tienen el mismo coeficiente en $a$, lo que deja la eliminación lista en una sola resta.

3. 3

   Elimina $a$ y despeja $b$. Restando la primera ecuación de la segunda, $\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac16-8\quad\Longrightarrow\quad b=\frac16-\frac{48}{6}=-\frac{47}{6}.$ Un $b$ negativo es perfectamente aceptable: solo significa que $y$ saldrá negativo.

4. 4

   Sustituye hacia atrás para hallar $a$. De $a+b=8$, $a=8+\frac{47}{6}=\frac{48}{6}+\frac{47}{6}=\frac{95}{6}.$

5. 5

   Invierte para recuperar $x$ e $y$. Como $a=1/x$ y $b=1/y$, $x=\frac{1}{a}=\frac{6}{95},\qquad y=\frac{1}{b}=-\frac{6}{47}.$ Los dos son distintos de cero, así que los denominadores originales son legítimos y no hay que descartar ninguna solución.

6. 6

   Comprueba en las ecuaciones originales. $\dfrac{1}{x}=\dfrac{95}{6}$ y $\dfrac{1}{y}=-\dfrac{47}{6}$, de modo que la primera ecuación da $\dfrac{95}{6}-\dfrac{47}{6}=\dfrac{48}{6}=8$, y la segunda da $6\cdot\dfrac{95}{6}+12\cdot\left(-\dfrac{47}{6}\right)=95-94=1$. Las dos se cumplen exactamente, sin ningún redondeo de por medio.