Resuelve la ecuación cúbica x³ + 3x² + 2x − 504 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza la parte variable y lee la estructura. Los tres primeros términos comparten una $x$:

   $x^3+3x^2+2x=x\left(x^2+3x+2\right)=x(x+1)(x+2)$

   así que la ecuación es

   $x(x+1)(x+2)=504$

   Es decir: halla tres enteros consecutivos cuyo producto sea $504$. Reconocer esta forma convierte una cúbica en una búsqueda de una sola línea.

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   Busca cerca de la raíz cúbica. Tres enteros consecutivos próximos a $n$ tienen un producto de aproximadamente $n^3$, y $\sqrt[3]{504}\approx7.96$, así que prueba la terna centrada cerca de $8$:

   $7\times8\times9=504\ \checkmark$

   Por lo tanto $x=7$ es raíz. Confirmándolo directamente: $343+147+14-504=0$ ✓.

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   Rebaja el grado con la división sintética. Dividiendo entre $x-7$ con los coeficientes $1,\ 3,\ 2,\ -504$:

   $1\quad\to\quad 3+7=10\quad\to\quad 2+70=72\quad\to\quad -504+504=0$

   El resto cero confirma la raíz, y el cociente es $x^2+10x+72$:

   $x^3+3x^2+2x-504=(x-7)\left(x^2+10x+72\right)$

4. 4

   Resuelve el factor cuadrático. Su discriminante es

   $10^2-4(1)(72)=100-288=-188<0$

   así que las dos raíces restantes son complejas — es decir, $x=7$ es la única solución real.

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   Simplifica las raíces complejas. Como $\sqrt{-188}=i\sqrt{4\cdot47}=2i\sqrt{47}$:

   $x=\frac{-10\pm2i\sqrt{47}}{2}=-5\pm i\sqrt{47}$

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   Verifica las tres raíces. Sustituir $x=7$ da exactamente $0$ ✓. Sustituir $-5\pm i\sqrt{47}$ da $0$ con un error inferior a $1.1\times10^{-14}$ en aritmética compleja ✓. Como comprobación estructural, las tres raíces suman $7+(-5)+(-5)=-3=-b/a$ ✓ y su producto es $7\left(25+47\right)=504=-d/a$ ✓.