Simplifica (la raíz séptima de x al cuadrado)/((1/2)y) por (la raíz cúbica de x al cuadrado)/(la raíz cúbica de y al cuadrado) por x/(la raíz cúbica de y) por ((9/7) por la raíz cuadrada de y/3)/(5/x).

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte cada radical en un exponente fraccionario. Usando $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$: $\sqrt[7]{x^2}=x^{2/7}$, $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$, $\sqrt[3]{y^2}=y^{2/3}$, $\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$ y $\sqrt{\tfrac y3}=\tfrac{y^{1/2}}{\sqrt3}$. La forma exponencial es la única manera práctica de combinar raíces de órdenes distintos.

2. 2

   Elimina los coeficientes fraccionarios de las fracciones. Dividir entre $\tfrac12 y$ equivale a multiplicar por $\tfrac{2}{y}$, y dividir entre $\tfrac5x$ equivale a multiplicar por $\tfrac x5$: $\frac{2x^{2/7}}{y}\times\frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\times\frac{x}{y^{1/3}}\times\frac{9x}{35}\cdot\frac{y^{1/2}}{\sqrt3}.$ Fíjate en que el cuarto factor aporta una $x$ adicional, que se pasa por alto con facilidad.

3. 3

   Reúne los coeficientes numéricos. $2\times\tfrac{9}{35} = \tfrac{18}{35}$, y el $\tfrac{1}{\sqrt3}$ se queda de momento: la constante es $\dfrac{18}{35\sqrt3}$.

4. 4

   Suma los exponentes de x. Las potencias presentes son $x^{2/7}$, $x^{2/3}$, $x^1$ (tercer factor) y $x^1$ (del cuarto): $\frac27+\frac23+1+1 = \frac{6}{21}+\frac{14}{21}+\frac{42}{21} = \frac{62}{21}.$

5. 5

   Suma los exponentes de y. El numerador aporta $y^{1/2}$; los denominadores aportan $y^{1}\cdot y^{2/3}\cdot y^{1/3} = y^{2}$. Por tanto $y^{1/2-2} = y^{-3/2} = \frac{1}{y^{3/2}}.$

6. 6

   Racionaliza y reduce la constante. $\dfrac{18}{35\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{105} = \dfrac{6\sqrt3}{35}$, así que $\text{la expresión} = \frac{6\sqrt3\,x^{62/21}}{35\,y^{3/2}}.$

7. 7

   Comprueba numéricamente. En $x=2$, $y=3$ el producto original vale $0.44230024$, y $\dfrac{6\sqrt3\cdot 2^{62/21}}{35\cdot 3^{3/2}} = 0.44230024$: idéntico hasta ocho decimales.