Resuelva la inecuación (2x + 1)/(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

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   Entienda qué hace negativo a un cociente. Una fracción es negativa exactamente cuando su numerador y su denominador tienen signos opuestos. Por eso, en lugar de multiplicar en cruz —lo que no es válido, porque $x-4$ cambia de signo— conviene seguir el signo de cada parte por separado.

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   Encuentre los puntos críticos.

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{numerador nulo}),\qquad x-4=0\Rightarrow x=4\quad(\text{denominador nulo})$

   La fracción solo puede cambiar de signo en estos dos valores, que parten la recta en $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,4\right)$ y $(4,\infty)$.

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   Pruebe un punto de cada intervalo. En $x=-1$: $\dfrac{-1}{-5}=0.2>0$ (ambos negativos). En $x=0$: $\dfrac{1}{-4}=-0.25<0$ (los signos difieren). En $x=5$: $\dfrac{11}{1}=11>0$ (ambos positivos). Solo el intervalo central da valores negativos.

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   Trate los dos extremos, excluidos por razones distintas. En $x=-\tfrac12$ la fracción vale $0$, y la desigualdad es estricta ($<0$, no $\le0$), así que $0$ no sirve. En $x=4$ la fracción no está definida. Por eso ambos extremos quedan abiertos.

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   Escriba la solución.

   $-\frac12<x<4,\qquad\left(-\frac12,\ 4\right)$

   A diferencia de muchas inecuaciones racionales, aquí los dos paréntesis resultan abiertos, pero por dos razones completamente distintas, y eso vale la pena notarlo.

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   Verifique con aritmética exacta. Evaluando la fracción con fracciones exactas (no con decimales de punto flotante) en $12001$ puntos racionales de $[-10,10]$, omitiendo $x=4$, la desigualdad se cumple exactamente en los puntos de $\left(-\tfrac12,4\right)$ y en ningún otro ✓.