Una receta usa 105 mililitros de salsa el día 1 y 85 mililitros el día 2. A partir del día 3, la cantidad usada cada día es el promedio de las cantidades usadas los dos días anteriores. ¿Cuál es la parte entera de la cantidad usada el día 19?

Step-by-step solution

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   Trabajar con las diferencias, no con los términos. Restando $a_{n-1}$ en la recurrencia se obtiene

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   Así que cada diferencia es exactamente $-\tfrac12$ veces la anterior. Convertir la recurrencia de dos términos en una geométrica de un término es lo que hace alcanzable el término $19$ sin listarlos todos.

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   Escribir las diferencias explícitamente. La primera diferencia es $a_2-a_1=-20$, así que

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   El signo alternado es la razón de que los términos zigzagueen ($105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$) en lugar de avanzar siempre en el mismo sentido.

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   Sumar la serie geométrica para obtener el límite. Sumando todas las diferencias a partir de $a_1$:

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   Equivalentemente $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$: la media ponderada, con el término más reciente contado dos veces, porque la recurrencia deja invariante la cantidad $a_{n-1}+2a_n$. No es $2a_2-a_1$.

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   Construir la fórmula explícita. Como la desviación respecto de $L$ se multiplica por el factor $-\tfrac12$ en cada paso,

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   Se comprueba en $n=2$: $\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$. Correcto.

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   Evaluar en $n=19$. El exponente $18$ es par, así que la corrección es positiva:

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

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   Tomar la parte entera. Como $91<a_{19}<92$, la parte entera es $91$. Iterar directamente la recurrencia con fracciones exactas reproduce $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$, lo que confirma la fórmula explícita.