¿Para qué valores de k tiene solución no trivial el sistema x + 2y - 2z = 0, 2x - y + kz = 0, 3x + y - z = 0? Da todas las soluciones en cada caso.

Step-by-step solution

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   Fíjate en qué tipo de sistema es. Los tres lados derechos valen $0$, así que el sistema es homogéneo y $(0,0,0)$ siempre es solución. La verdadera pregunta es si existen otras, lo que ocurre exactamente cuando el determinante de los coeficientes se anula.

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   Elimina usando las dos ecuaciones que no contienen $k$. Las ecuaciones 1 y 3 solo tienen coeficientes conocidos, así que conviene empezar por ellas. De la ecuación 3,

   $y=z-3x,$

   y sustituyendo en la ecuación 1:

   $x+2(z-3x)-2z=x+2z-6x-2z=-5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   Así que $x=0$ para todo valor de $k$ — el parámetro no puede salvar la primera componente.

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   Lleva $x=0$ de vuelta al sistema. Con $x=0$, la ecuación 3 da $y=z$, y la ecuación 2 se convierte en

   $-y+kz=0\;\Longrightarrow\;-z+kz=0\;\Longrightarrow\;(k-1)z=0.$

   Todo depende ahora de si el factor $k-1$ es cero o no.

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   Separa en los dos casos. Si $k\neq 1$, entonces $k-1\neq 0$ obliga a que $z=0$, de donde $y=0$ y la única solución es la trivial:

   $(x,y,z)=(0,0,0).$

   Si $k=1$, la ecuación $(k-1)z=0$ se cumple automáticamente, así que $z=t$ es libre y $y=t$, $x=0$:

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

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   Confirma con el determinante. Desarrollando el determinante de los coeficientes por la primera fila,

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&k\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-k)-2(-2-3k)-2(2+3)=1-k+4+6k-10=5k-5=5(k-1).$

   Esto se anula precisamente cuando $k=1$, lo que coincide exactamente con la separación en casos. Para $k=1$, una comprobación rápida: $(0,1,1)$ da $0+2-2=0$ ✓, $0-1+1=0$ ✓, $0+1-1=0$ ✓.