Resuelve la inecuación 3/(x - 2) > 1 y escribe la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   No multipliques ambos lados por $x-2$. Su signo es desconocido: para $x>2$ es positivo (se conserva el sentido de la desigualdad) y para $x<2$ es negativo (se invierte el sentido). Multiplicar sin separar en casos es la forma más común de equivocarse en este problema: produce en silencio $3>x-2$, es decir $x<5$, que incluye por error todo lo que está por debajo de $2$.

2. 2

   Pasa todo a un mismo lado. Resta 1 y combina sobre el común denominador $x-2$:

   $\frac{3}{x-2}-1>0\ \Longrightarrow\ \frac{3-(x-2)}{x-2}>0\ \Longrightarrow\ \frac{5-x}{x-2}>0$

   Ahora la pregunta trata únicamente del signo de un cociente, y no se hizo ninguna multiplicación de signo desconocido.

3. 3

   Lista los puntos críticos, distinguiendo los ceros del punto donde no está definida. El numerador se anula en $5-x=0\Rightarrow x=5$; el denominador se anula en $x=2$, donde la expresión no está definida. Ambos parten la recta, pero solo uno puede llegar a formar parte del conjunto solución.

4. 4

   Prueba un valor en cada uno de los tres intervalos.

   $x=0:\ \frac{5}{-2}<0\ \times\qquad x=3:\ \frac{2}{1}>0\ \checkmark\qquad x=6:\ \frac{-1}{4}<0\ \times$

   Solo funciona el intervalo central.

5. 5

   Arma la solución con los extremos correctos. $x=2$ se excluye porque allí la expresión no está definida, y $x=5$ se excluye porque el cociente vale $0$ y la desigualdad es estricta:

   $2<x<5,\qquad (2,5)$

6. 6

   Confirma en los extremos. En $x=2.5$: $\dfrac{3}{0.5}=6>1$ ✓. En $x=5$: $\dfrac{3}{3}=1$, que no es mayor que $1$, así que $5$ queda correctamente excluido ✓. En $x=1$: $\dfrac{3}{-1}=-3>1$ es falso, justo la región que la multiplicación en cruz descuidada habría admitido por error.