Resolver la ecuación logaritmo en base 3 de (2x^2 + 13x + 23) dividido entre logaritmo en base 3 de (x + 5) igual a 1, y hallar la suma de sus raíces.

Step-by-step solution

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   Escribir primero el dominio, porque el denominador esconde dos condiciones distintas. Los dos argumentos de los logaritmos deben ser positivos, y el denominador no puede ser cero:

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   Las dos primeras dan $x>-5$ y $x\neq -4$.

2. 2

   Revisar aparte el argumento cuadrático: resulta ser una condición gratuita. Su discriminante es

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   y el coeficiente principal es positivo, así que $2x^2+13x+23>0$ para todo $x$ real. Esa condición no añade nada, y el dominio es simplemente $x>-5$, $x\neq-4$.

3. 3

   Reconocer el cociente de logaritmos como un cambio de base. Como $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$, la ecuación dice

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   Un logaritmo vale $1$ exactamente cuando el argumento coincide con la base, y por eso se pueden eliminar los logaritmos por completo en lugar de exponenciar dos veces.

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   Resolver la ecuación cuadrática resultante. Igualando el argumento a la base:

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   de donde $x=-3$ es una raíz doble de la cuadrática.

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   Comprobar el candidato y sumar las raíces. $x=-3$ cumple $x>-5$ y $x\neq-4$, y al sustituir se obtiene $\log_3 2/\log_3 2=1$, así que es válida. Aunque la cuadrática tiene $x=-3$ como raíz doble, la ecuación original tiene exactamente una raíz, de modo que la suma de sus raíces es

   $-3.$