Resuelve la ecuación 2x² = 2x + 1.

Step-by-step solution

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   Escribe la ecuación en forma estándar. La fórmula general necesita $ax^{2}+bx+c=0$, así que resta $2x+1$ en los dos miembros:

   $2x^{2}-2x-1=0$

   de donde $a=2$, $b=-2$, $c=-1$. Fíjate en que $c$ es negativo: al pasar el $+1$ al otro lado cambia de signo.

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   Calcula el discriminante para elegir el método.

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   El doble negativo de $-4(2)(-1)=+8$ es el paso que hay que vigilar. Como $\Delta=12>0$ hay dos raíces reales distintas, pero $12$ no es un cuadrado perfecto, así que las raíces son irracionales y no existe ninguna factorización entera — la fórmula es la herramienta adecuada.

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   Sustituye en la fórmula general.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

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   Simplifica el radical y reduce la fracción. Como $12=4\cdot3$, se tiene $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   El factor común $2$ hay que cancelarlo en los dos términos del numerador — cancelar solo el $2$ de delante es el error clásico.

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   Verifica con las relaciones de Cardano-Vieta y por sustitución. Las raíces deben sumar $-b/a=1$ y multiplicarse hasta $c/a=-\tfrac12$:

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   Numéricamente las raíces son $\approx1.3660$ y $\approx-0.3660$, y al sustituir cualquiera de ellas en $2x^{2}-2x-1$ el residuo queda por debajo de $10^{-12}$ ✓.