Simplifica ((a² − 2a + 4)/(a + 2))² − ((a² + 2a + 4)/(a − 2))².

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta las identidades de los cubos escondidas en los numeradores. Los dos numeradores son los cofactores cuadráticos de un cubo:

   $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$

   Así que $\dfrac{a^2-2a+4}{a+2}=\dfrac{a^3+8}{(a+2)^2}$ y $\dfrac{a^2+2a+4}{a-2}=\dfrac{a^3-8}{(a-2)^2}$. Darse cuenta de esto es lo que evita que el álgebra se descontrole.

2. 2

   Pon los dos cuadrados sobre el común denominador $(a^2-4)^2$. Como $(a+2)(a-2)=a^2-4$,

   $\left(\frac{a^2-2a+4}{a+2}\right)^{2}=\frac{(a^2-2a+4)^2(a-2)^2}{(a^2-4)^2},\qquad \left(\frac{a^2+2a+4}{a-2}\right)^{2}=\frac{(a^2+2a+4)^2(a+2)^2}{(a^2-4)^2}$

3. 3

   Resta los numeradores y desarrolla. Los dos productos son polinomios de grado 6; al hacer la multiplicación y restar término a término queda

   $(a^2-2a+4)^2(a-2)^2-(a^2+2a+4)^2(a+2)^2=-16a^5-160a^3-256a$

   Todas las potencias pares se cancelan, señal útil de que las dos mitades son de verdad imágenes especulares una de la otra bajo $a\mapsto -a$.

4. 4

   Factoriza el numerador por completo.

   $-16a^5-160a^3-256a=-16a\bigl(a^4+10a^2+16\bigr)=-16a\,(a^2+2)(a^2+8)$

   Ni $a^2+2$ ni $a^2+8$ factorizan sobre los reales, así que hasta aquí llega el proceso; observa además que nada se cancela contra $(a^2-4)^2$, de modo que la fracción ya está en su forma más simple para $a\ne\pm 2$.

5. 5

   Comprueba numéricamente en dos valores de $a$. En $a=1$ la expresión original es $\left(\tfrac{3}{3}\right)^2-\left(\tfrac{7}{-1}\right)^2=1-49=-48$, y la forma cerrada da $\dfrac{-16(1)(3)(9)}{9}=-48$. En $a=3$ la original es $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2-\left(\tfrac{19}{1}\right)^2=1.96-361=-359.04$, y la forma cerrada da $\dfrac{-16(3)(11)(17)}{25}=-\dfrac{8976}{25}=-359.04$. Las dos coinciden exactamente.