Escribe cada polinomio como producto: (a) 27x³ + y³, (b) x³ − 8y³, (c) x³ + 512. Después desarrolla (x + 1)(x² − x + 1) y explica cómo el resultado confirma la identidad usada.

Step-by-step solution

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   Aprende las dos identidades y, sobre todo, su forma. Toda factorización de cubos sale de

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   Vale la pena memorizar el patrón como una frase y no como símbolos: el primer factor lleva el mismo signo que la expresión original (más con más, menos con menos), y dentro del factor cuadrático el signo central es el contrario, mientras que los dos términos exteriores siempre son positivos. Esa sola regla evita el error más común, escribir $a^2-2ab+b^2$ (que no es más que $(a-b)^2$) en lugar de $a^2-ab+b^2$.

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   (a) Identifica los dos cubos en $27x^3+y^3$. Lo único que hay que hacer es reconocer que $27=3^3$, de modo que

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   Sustituyendo en la identidad de la suma de cubos:

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   Fíjate en que $(3x)^2=9x^2$, no $3x^2$: elevar al cuadrado el término completo $3x$ es donde más se equivocan numéricamente incluso quienes aciertan con los signos.

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   (b) Usa la versión de la diferencia para $x^3-8y^3$. Aquí $8y^3=(2y)^3$, así que $a=x$ y $b=2y$, y aplica la identidad del menos:

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   El factor cuadrático $x^2+2xy+4y^2$ no se puede factorizar más sobre los números reales: su discriminante, visto como cuadrática en $x$, es $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$. Eso ocurre con el factor cuadrático de toda factorización de cubos, y por eso la respuesta siempre tiene exactamente dos factores.

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   (c) Reconoce que $512$ es un cubo perfecto. Como $512=8^3$, toma $a=x$ y $b=8$ en la identidad de la suma de cubos:

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   Una comprobación rápida sobre el término independiente: el producto de los términos independientes debe reproducir el original, y $8\times 64=512$. ✓

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   Desarrolla $(x+1)(x^2-x+1)$ para ver la identidad desde el otro lado. Distribuyendo término a término:

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   Todo lo del medio se cancela por parejas — $-x^2$ con $+x^2$, y $+x$ con $-x$ — y queda

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   Esto es exactamente $a^3+b^3$ con $a=x$, $b=1$. Esa cancelación es la razón de que el signo central dentro del factor cuadrático deba ser $-ab$: es lo que elimina los dos términos centrales sobrantes.

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   Comprueba cada respuesta multiplicando de vuelta o probando un valor. La verificación más rápida es sustituir un número cómodo. Para (c) en $x=2$: la expresión original da $8+512=520$, y la forma factorizada da $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$. ✓ Hacer una comprobación numérica por apartado detecta los descuidos de signo mucho mejor que releer el álgebra.