El cociente de (x⁴ + 5x³ − 3x − 15) y (x³ − 3) es un polinomio. ¿Cuál es el cociente?

Step-by-step solution

1. 1

   Comparar los grados antes de dividir. El dividendo tiene grado $4$ y el divisor grado $3$, así que el cociente debe tener grado $4-3=1$. Cualquier respuesta de grado $7$ (que saldría de multiplicar en lugar de dividir) queda descartada de inmediato.

2. 2

   Dividir los términos principales. $\frac{x^4}{x^3}=x$, así que el primer término del cociente es $x$. Al multiplicar de vuelta, $x(x^3-3)=x^4-3x$.

3. 3

   Restar y bajar los términos. $(x^4+5x^3+0x^2-3x-15)-(x^4-3x)=5x^3+0x^2+0x-15$. Los dos términos $-3x$ se cancelan exactamente, lo que anticipa que la división saldrá exacta.

4. 4

   Dividir de nuevo. $\frac{5x^3}{x^3}=5$, y $5(x^3-3)=5x^3-15$. Al restar queda $0$, así que el resto es cero y el cociente es $x+5$.

5. 5

   Confirmar factorizando por agrupación. $x^4+5x^3-3x-15=x^3(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x^3-3)$. Al cancelar el factor común $x^3-3$ se obtiene directamente el cociente $x+5$, que coincide con la división larga.

6. 6

   Comprobación numérica en x = 2. El dividendo vale $16+40-6-15=35$ y el divisor $8-3=5$; $35\div 5=7$, y el cociente $x+5$ en $x=2$ también vale $7$.