Resolver la inecuación -4x² + 260x - 200 menor o igual que 0.

Step-by-step solution

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   Divide entre el coeficiente principal negativo e invierte el signo. Dividir todos los términos entre $-4$ vuelve mónica la expresión de segundo grado, pero como $-4<0$ la desigualdad se invierte:

   $-4x^2+260x-200\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-65x+50\ge 0$

   Este es, con diferencia, el paso más propenso a error; conservar la forma original, que abre hacia abajo, y razonar sobre "estar por debajo del eje" es una alternativa igual de válida.

2. 2

   Halla las raíces de la cuadrática mónica. Con $a=1$, $b=-65$, $c=50$,

   $\Delta=(-65)^2-4(50)=4225-200=4025$

   y $4025=25\cdot 161$, así que $\sqrt{4025}=5\sqrt{161}$ (como $161=7\cdot 23$ es libre de cuadrados, esto ya está del todo simplificado).

3. 3

   Escribe las raíces de forma exacta.

   $x=\frac{65\pm 5\sqrt{161}}{2}$

   Como $5\sqrt{161}\approx 63.4429$, las raíces son aproximadamente $0.7786$ y $64.2214$.

4. 4

   Usa la orientación de la parábola para elegir la región. La parábola $x^2-65x+50$ abre hacia arriba, así que es $\ge 0$ fuera de las dos raíces y negativa estrictamente entre ellas:

   $x\le \frac{65-5\sqrt{161}}{2}\qquad\text{o}\qquad x\ge \frac{65+5\sqrt{161}}{2}$

5. 5

   Incluye los extremos y pon a prueba la respuesta. La desigualdad no es estricta, así que las dos raíces pertenecen a la solución (allí la expresión original vale $0$). Probando: en $x=0.5$ la expresión original da $-71\le 0$ ✓; en $x=1$ da $+56$, que no cumple, lo que excluye correctamente la franja central; y en $x=65$ da $-200\le 0$ ✓.