Resuelve la ecuación √(x·√x) = 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte el radical anidado en una sola potencia. Usando $\sqrt{x}=x^{1/2}$ y la regla del producto de potencias:

   $x\sqrt x=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}$

   así que la ecuación es $x^{3/4}=2x$.

2. 2

   Fija el dominio. Tanto $\sqrt{x}$ como la raíz exterior exigen $x\ge 0$, y entonces el miembro derecho $2x$ también tiene que ser $\ge 0$ — coherente. Así que buscamos solo en $[0,\infty)$.

3. 3

   Trata $x=0$ aparte, antes de dividir. En $x=0$ el miembro izquierdo vale $\sqrt{0}=0$ y el derecho vale $0$, así que $x=0$ sí es solución. Dividir entre una potencia de $x$ en el paso siguiente la destruiría, y justo por eso se comprueba primero.

4. 4

   Divide entre $x^{3/4}$ para $x>0$ y resuelve.

   $1=2x^{1-3/4}=2x^{1/4}\quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$

5. 5

   Verifica las dos soluciones en la ecuación original. En $x=\tfrac1{16}$: $\sqrt{x}=\tfrac14$, luego $x\sqrt x=\tfrac1{16}\cdot\tfrac14=\tfrac1{64}$ y $\sqrt{\tfrac1{64}}=\tfrac18$; por su parte, $2x=\tfrac18$ $\checkmark$. En $x=0$: $0=0$ $\checkmark$. Como $x^{3/4}$ crece más despacio que $2x$ para $x$ grande, no puede haber más cruces.