Resolver para x: 1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 3.1100685 × 10¹¹.

Step-by-step solution

1. 1

   Evalúa primero la constante conocida. Eleva al cubo la base y la potencia de diez por separado:

   $\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 5^3 \times 10^{-15} = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13}$

   El exponente se multiplica por $3$, no se le suma $3$ — queda $10^{-15}$, no $10^{-8}$.

2. 2

   Inviértela. Tomar el recíproco invierte la mantisa y cambia el signo del exponente:

   $\frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 0.8 \times 10^{13} = 8\times 10^{12}$

3. 3

   Despeja 1/x³ sumando esa constante a ambos miembros.

   $\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 3.1100685\times 10^{11}$

   Para sumar, escribe los dos términos con la misma potencia de diez:

   $= 80\times 10^{11} + 3.1100685\times 10^{11} = 83.1100685\times 10^{11} = 8.31100685\times 10^{12}$

   Sumar las mantisas sin igualar antes los exponentes es el error clásico aquí.

4. 4

   Invierte de nuevo para obtener x³.

   $x^3 = \frac{1}{8.31100685\times 10^{12}} = 1.20322\times 10^{-13}$

5. 5

   Extrae la raíz cúbica. Separa la mantisa de una potencia de diez cuyo exponente sea múltiplo de $3$:

   $x = \sqrt[3]{120.322\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{120.322}\times 10^{-5} = 4.9368\times 10^{-5}$

   Reescribir $10^{-13}$ como $120.322\times10^{-15}$ es lo que vuelve exacta la raíz cúbica de la potencia de diez.

6. 6

   Comprueba sustituyendo hacia atrás. Con $x = 4.9368\times 10^{-5}$:

   $\frac{1}{x^3} = 8.3112\times 10^{12}, \qquad 8.3112\times 10^{12} - 8\times 10^{12} = 3.1119\times 10^{11} \ \checkmark$

   Fíjate en lo cerca que está $x$ de $5\times 10^{-5}$: el segundo miembro es solo alrededor del $3.9\%$ de $8\times10^{12}$ y, como $x$ varía según la raíz cúbica inversa, eso desplaza $x$ apenas un $1.3\%$.