Resuelve (x² + 4x − 12)·√(x + 5) = 0 y da la suma de sus raíces.

Step-by-step solution

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   Fija primero el dominio. La raíz cuadrada exige $x+5\ge 0$, así que $x\ge -5$. Esta restricción es lo que convierte el problema en algo más que una factorización rutinaria: una de las raíces de la cuadrática caerá fuera de ella.

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   Separa el producto en dos casos. El producto se anula cuando $x^{2}+4x-12=0$ o cuando $\sqrt{x+5}=0$.

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   Resuelve el factor cuadrático. El discriminante vale $D=4^{2}-4(1)(-12)=16+48=64$, de modo que $x=\frac{-4\pm 8}{2},$ lo que da $x_1=2$ y $x_2=-6$. Como $-6<-5$, el valor $x=-6$ queda fuera del dominio y hay que descartarlo; solo permanece $x=2$.

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   Resuelve el factor radical. $\sqrt{x+5}=0$ obliga a $x+5=0$, luego $x=-5$, que es exactamente el extremo izquierdo del dominio y por tanto es admisible.

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   Suma las raíces que sobreviven. El conjunto solución es $\{-5,2\}$, así que la suma vale $-5+2=-3$. Comprobación: en $x=2$ el factor cuadrático vale $4+8-12=0$, y en $x=-5$ el radical vale $0$, así que ambos anulan el producto.