Halla el producto (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²), escribiendo la multiplicación en horizontal.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en la estructura. Los dos factores son homogéneos — todo término del primero tiene grado total $2$ y todo término del segundo tiene grado total $2$ —, así que cada producto parcial tiene grado total $4$. Eso deja $x^4,\ x^3y,\ x^2y^2,\ xy^3,\ y^4$ como las únicas casillas posibles y da una autocomprobación muy útil.

2. 2

   Distribuye los términos del trinomio sobre $7x^2$. $3x^2\cdot 7x^2=21x^4$, $4xy\cdot 7x^2=28x^3y$ y $5y^2\cdot 7x^2=35x^2y^2$.

3. 3

   Distribuye sobre $9y^2$. $3x^2\cdot 9y^2=27x^2y^2$, $4xy\cdot 9y^2=36xy^3$ y $5y^2\cdot 9y^2=45y^4$.

4. 4

   Agrupa los seis monomios por patrón. $21x^4$, $28x^3y$, $36xy^3$ y $45y^4$ quedan cada uno solo; los dos términos en $x^2y^2$ son $35x^2y^2$ y $27x^2y^2$.

5. 5

   Combina y escribe la respuesta en potencias decrecientes de $x$. $35x^2y^2+27x^2y^2=62x^2y^2$, lo que da $21x^4+28x^3y+62x^2y^2+36xy^3+45y^4$.

6. 6

   Verifica en dos puntos. En $x=y=1$: $(3+4+5)(7+9)=12\cdot 16=192$ y $21+28+62+36+45=192$. En $x=2,y=-1$: $(12-8+5)(28+9)=9\cdot 37=333$ y $336-224+248-72+45=333$.