Resuelve 3^x = x⁹ para x real.

Step-by-step solution

1. 1

   Restringe el dominio mirando el primer miembro. $3^{x}>0$ para todo $x$ real, así que $x^{9}$ también tiene que ser positivo. Como $9$ es impar, $x^{9}>0$ obliga a que

   $x>0$

   de modo que solo hay que considerar $x$ positivos — y entonces el logaritmo es legítimo.

2. 2

   Toma logaritmos para convertir los dos miembros en productos. Para $x>0$:

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   El problema se ha convertido en: ¿dónde corta la curva $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ a un nivel horizontal fijo?

3. 3

   Detecta la raíz exacta. Intenta escribir los dos miembros como potencias de la misma base. Como $27=3^{3}$,

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   así que $x=27$ resuelve la ecuación de forma exacta — verificado en aritmética entera exacta ✓. (En cambio $x=9$ falla: $3^{9}=19683$ pero $9^{9}=387\,420\,489$, y $x=3$ también falla.)

4. 4

   Cuenta las raíces a partir de la forma de $g$. Derivando, $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$, que es positiva para $x<e$ y negativa para $x>e$. Así que $g$ sube hasta un único máximo $g(e)=1/e\approx0.3679$ y luego decrece hacia $0$. Como el nivel objetivo $0.122068$ está por debajo de ese máximo y por encima de $0$, la recta horizontal corta a la curva exactamente dos veces — una a cada lado de $x=e$. La raíz conocida $27$ queda a la derecha, así que la segunda raíz tiene que estar en $(1,e)$.

5. 5

   Localiza la segunda raíz numéricamente. Aplicando bisección a $g(x)=\ln3/9$ en $(1,e)$ se converge a

   $x\approx1.1508248$

   Comprobación: $3^{1.1508248}=3.5406498$ y $1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓, coincidiendo hasta $10^{-6}$. Así que la ecuación tiene dos soluciones reales — quedarse solo con $x=27$ deja fuera la mitad de la respuesta:

   $x=27\qquad\text{y}\qquad x\approx1.15082$