Factoriza x² + x + 1 sobre los reales si es posible; si no, sobre los complejos.

Step-by-step solution

1. 1

   Descartar una factorización real con el discriminante. Con $a=b=c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3<0$

   No existen raíces reales, así que $x^{2}+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$. Completar el cuadrado lo confirma de forma constructiva: $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34\ge\tfrac34>0$, de modo que la expresión nunca llega a cero.

2. 2

   Hallar las raíces complejas.

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   un par conjugado, como siempre ocurre con coeficientes reales.

3. 3

   Escribir la factorización sobre $\mathbb{C}$.

   $x^{2}+x+1=\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)$

4. 4

   Verificar con Vieta. Las raíces suman $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}=-1=-\dfrac{b}{a}$ ✓ y su producto es $\dfrac{(-1)^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ ✓, así que al desarrollar el producto se recupera exactamente $x^{2}+x+1$. Al sustituir cualquiera de las dos raíces queda un residuo por debajo de $10^{-15}$ ✓.

5. 5

   Reconocer las raíces como raíces cúbicas de la unidad. Puesto que

   $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+x+1=\frac{x^{3}-1}{x-1}$

   las dos raíces son exactamente las raíces cúbicas de $1$ distintas del propio $1$, escritas $\omega$ y $\omega^{2}$. Una comprobación numérica confirma que $\omega^{3}=1$ y $\omega^{2}+\omega+1=0$ con un margen de $10^{-15}$ ✓. Esta identidad es también la razón por la que $x^{2}+x+1$ aparece siempre que se factoriza una diferencia de cubos.