Factoriza 4x² − 9 y después resuelve 4x² − 9 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que los dos términos son cuadrados perfectos. Esta es la condición previa para el patrón de la diferencia de cuadrados:

   $4x^{2}=(2x)^{2},\qquad9=3^{2}$

   El coeficiente $4$ es él mismo un cuadrado, así que la raíz cuadrada de $4x^{2}$ es $2x$, no $4x$: partir el coeficiente por la mitad en lugar de extraerle la raíz es el error habitual.

2. 2

   Aplica la identidad. Con $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ y $a=2x$, $b=3$:

   $4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)$

   No hay término central del cual dar cuenta, porque los términos cruzados $-6x$ y $+6x$ se cancelan, que es exactamente por lo que este patrón se ve como una expresión de dos términos.

3. 3

   Verifica desarrollando. $(2x-3)(2x+3)=4x^{2}+6x-6x-9=4x^{2}-9$ ✓, confirmado en $40$ valores enteros ✓. Observa que $4x^{2}+9$, la suma de cuadrados, no se factoriza sobre los reales: el signo menos es imprescindible.

4. 4

   Resuelve la ecuación con la propiedad del producto nulo.

   $(2x-3)(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-3=0\ \text{ o }\ 2x+3=0$

   $x=\frac{3}{2}\qquad\text{o}\qquad x=-\frac{3}{2}$

5. 5

   Comprueba las dos raíces. En $x=\tfrac32$: $4\cdot\tfrac94-9=9-9=0$ ✓. En $x=-\tfrac32$: $4\cdot\tfrac94-9=0$ ✓ (elevar al cuadrado elimina el signo). Las mismas respuestas salen por la vía de la raíz cuadrada: $4x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\tfrac94\Rightarrow x=\pm\tfrac32$ ✓.