Divide como se indica y simplifica: (y² − 81) entre la fracción (y² + 4y − 45)/(y² + 9).

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte primero la división en una multiplicación. Dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco, así que invierte la segunda expresión antes de tocar cualquier otra cosa. Intentar cancelar a través de la barra de división es el error más común en este tipo de ejercicio:

   $\left(y^{2}-81\right)\div\frac{y^{2}+4y-45}{y^{2}+9}=\left(y^{2}-81\right)\cdot\frac{y^{2}+9}{y^{2}+4y-45}$

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   Factoriza por completo cada polinomio. La cancelación solo es legítima entre factores, así que no se puede simplificar nada hasta que cada pieza sea un producto. La primera es una diferencia de cuadrados, y el trinomio se factoriza con la pareja que multiplica $-45$ y suma $4$, es decir $9$ y $-5$:

   $y^{2}-81=(y-9)(y+9),\qquad y^{2}+4y-45=(y+9)(y-5)$

   Fíjate en que $y^{2}+9$ es una suma de cuadrados y no se factoriza en los reales, así que se queda tal cual.

3. 3

   Arma una sola fracción. Coloca el numerador factorizado sobre el denominador factorizado:

   $\frac{(y-9)(y+9)\left(y^{2}+9\right)}{(y+9)(y-5)}$

4. 4

   Cancela el factor común y anota las restricciones. El factor $(y+9)$ aparece arriba y abajo, así que se elimina:

   $\frac{(y-9)\left(y^{2}+9\right)}{y-5}$

   La cancelación solo vale donde $y+9\neq 0$, y el denominador que queda prohíbe $y=5$, de modo que la forma simplificada es válida para $y\neq -9$ y $y\neq 5$.

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   Confirma el resultado con un valor de prueba. En $y=2$ la expresión original vale $(4-81)\div\dfrac{4+8-45}{4+9}=(-77)\cdot\dfrac{13}{-33}=\dfrac{1001}{33}$, y la forma simplificada da $\dfrac{(2-9)(4+9)}{2-5}=\dfrac{-91}{-3}=\dfrac{91}{3}=\dfrac{1001}{33}$. Las dos concuerdan, así que el álgebra es correcta.