Simplifica la expresión 5√9 − √(−64). Escribe la respuesta como número complejo.

Step-by-step solution

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   Separar el radical real del imaginario. $\sqrt{9}$ es una raíz cuadrada real ordinaria, pero $\sqrt{-64}$ tiene radicando negativo y no tiene ningún valor real. Tratar a los dos de la misma manera es lo que vuelve trampa a este problema, así que conviene manejarlos uno por vez.

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   Evaluar la parte real. La raíz cuadrada principal de $9$ es $3$ (no $\pm 3$: el símbolo radical denota la raíz no negativa), así que

   $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$

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   Reescribir el radical negativo con $i$. Se extrae el $-1$ usando $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$ para $a>0$:

   $\sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = \sqrt{64}\,\sqrt{-1} = 8i$

   Escribir $\sqrt{-64} = -8$ es el error estándar: $(-8)^2 = +64$, no $-64$.

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   Restar manteniendo separadas la parte real y la imaginaria. Los términos reales se combinan con los reales y los imaginarios con los imaginarios; $15$ y $8i$ no son semejantes, así que nada se fusiona:

   $15 - 8i$

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   Comprobar la respuesta. En la forma $a + bi$ se tiene $a = 15$ y $b = -8$. Elevando al cuadrado la parte imaginaria: $(8i)^2 = 64i^2 = -64$ ✓, lo que confirma que $\sqrt{-64} = 8i$. El valor final es entonces $15 - 8i$, y una opción incorrecta habitual, $15 - 8$, se colapsaría al número real $7$.