Resolver 0.2 × 0.2 × x⁶ + (1 + 0.2 × 0.2) x⁴ + x² − 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar los coeficientes decimales. Como $0.2\times 0.2=0.04$ y $1+0.04=1.04$, la ecuación es

   $0.04x^{6}+1.04x^{4}+x^{2}-4=0$

2. 2

   Eliminar los decimales multiplicando por 25. Porque $25\times 0.04=1$ y $25\times 1.04=26$:

   $x^{6}+26x^{4}+25x^{2}-100=0$

   Trabajar con enteros elimina cualquier riesgo de deriva por redondeo en la búsqueda de raíces que viene a continuación.

3. 3

   Sustituir $y=x^{2}$: solo aparecen potencias pares. Con $x^{6}=y^{3}$ y $x^{4}=y^{2}$:

   $y^{3}+26y^{2}+25y-100=0$

   El grado baja de seis a tres y, lo que es decisivo, $y=x^{2}\ge 0$, así que solo las raíces no negativas $y$ pueden dar un $x$ real.

4. 4

   Buscar raíces racionales y luego pasar a lo numérico. Los candidatos $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ fallan todos: por ejemplo $y=1$ da $-48$ y $y=2$ da $+62$. Así que el cambio de signo entre $1$ y $2$ localiza la única raíz positiva, que hay que hallar numéricamente.

5. 5

   Hallar la raíz positiva con precisión. La iteración de Newton sobre $f(y)=y^{3}+26y^{2}+25y-100$ partiendo de $y=1.5$ converge a

   $y=1.5056857750$

   Aquí la verificación importa: $f(1.5056858)=0.0000027$, mientras que un valor cercano equivocado como $y=1.417075$ da $f=-9.5$, muy lejos de cero. Las otras dos raíces, $y\approx-2.6747$ y $y\approx-24.8310$, son negativas y no dan ningún $x$ real.

6. 6

   Volver a $x$. De $x^{2}=1.5056857750$,

   $x=\pm\sqrt{1.5056857750}=\pm 1.2270638838$

   Sustituyendo de vuelta: $0.04(1.22706)^{6}+1.04(1.22706)^{4}+(1.22706)^{2}-4=-0.000042$ ✓. La ecuación de grado seis tiene exactamente dos raíces reales y cuatro complejas.