Resolver |2x + 3| = 6x.

Step-by-step solution

1. 1

   Impón primero la condición de no negatividad. El primer miembro es un valor absoluto, así que nunca es negativo. El segundo miembro debe cumplir por tanto

   $6x\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad x\ge0$

   Esta condición no es un trámite opcional: es lo que vuelve imposible uno de los dos casos, y olvidarla produce una segunda respuesta espuria.

2. 2

   Caso 1: el interior es no negativo, 2x + 3 >= 0. Entonces $|2x+3|=2x+3$ y

   $2x+3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad 3=4x\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac34$

3. 3

   Contrasta el candidato con las dos condiciones. Interior: $2\left(\tfrac34\right)+3=\tfrac92\ge0$ ✓, coherente con la hipótesis del caso. Global: $x=\tfrac34\ge0$ ✓. Así que $x=\tfrac34$ es genuina.

4. 4

   Caso 2: el interior es negativo, 2x + 3 < 0. Entonces $|2x+3|=-(2x+3)$ y

   $-2x-3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad -3=8x\qquad\Longrightarrow\qquad x=-\frac38$

5. 5

   Rechaza el segundo candidato — por partida doble. Incumple la condición global $x\ge0$, ya que $-\tfrac38<0$. Y también incumple la condición de su propio caso: $2\left(-\tfrac38\right)+3=\tfrac94>0$, no es negativo. Sustituir directamente lo confirma: $\left|2\left(-\tfrac38\right)+3\right|=\tfrac94$ pero $6\left(-\tfrac38\right)=-\tfrac94$, y $\tfrac94\neq-\tfrac94$. Es una raíz extraña.

6. 6

   Enuncia la respuesta y verifícala. La única solución es

   $x=\frac34$

   Comprobación: $\left|2\left(\tfrac34\right)+3\right|=\left|\tfrac92\right|=\tfrac92$ y $6\left(\tfrac34\right)=\tfrac92$ ✓. Un barrido de $6001$ puntos racionales exactos en $[-3,3]$ muestra que $\tfrac34$ es la solución única ✓.